ProfMathMerlin
Chapitre 1 : Suites (3 semaines)
I. Rappels sur les suites
A. Mode de génération d’une suite
B. Représentations graphiques
C. Suites arithmétiques et géométriques
II. Raisonnement par récurrence
III. Sens de variations d’une suite, encadrement
A. Sens de variation d’une suite
B. Suite majorée, minorée, bornée
IV. Limites de suites
A. Limite infinie d’une suite
B. Limite finie d’une suite
C. Suite sans limite
D. Théorème d’opérations
E. Théorème de comparaison pour les limites infinies
F. Théorème de comparaison pour les limites finies
G. Limite des suites monotones
Raisonnement par récurrence.
Savoir mener un raisonnement par récurrence.
Limite finie ou infinie d’une suite.
Dans le cas d’une limite infinie, étant donnés une suite croissante ( ) et un nombre réel A, déterminer à l’aide d’un algorithme un rang à partir duquel est supérieur à A.
Limites et comparaison.
Démontrer que si ( ) et ( ) sont deux suites telles que : * est inférieure ou égal à à partir d’un certain rang ; * tend vers + ∞ quand n tend vers + ∞ ; alors tend vers + ∞ quand n tend vers + ∞ .
On démontre que si une suite est croissante et admet pour limite l, alors tous les termes de la suite sont inférieurs ou égaux à l.
Opérations sur les limites.
Étudier la limite d’une somme, d’un produit ou d’un quotient de deux suites.
Comportement à l’infini de la suite ( ), q étant un nombre réel.
Démontrer que la suite ( ), avec q >1, a pour limite + ∞ .
Déterminer la limite éventuelle d’une suite géométrique.
Suite majorée, minorée, bornée.
Utiliser le théorème de convergence des suites croissantes majorées.
Chapitre 2 : Probabilité conditionnelles (2,5 semaines)
I. Probabilités conditionnelles
II. Conditionnement et arbre de probabilité
III. Evénements indépendants
Conditionnement par un événement de probabilité non nulle.
Construire un arbre pondéré en lien avec une situation donnée.
Notation .
Exploiter la lecture d’un arbre pondéré pour déterminer des probabilités.
Calculer la probabilité d’un événement connaissant ses probabilités conditionnelles relatives à une partition de l’univers.
Indépendance de deux événements.
Démontrer que si deux événements et sont indépendants, alors il en est de même pour et .
Chapitre 3 : Limites de fonction (2,5 semaines)
I. Limite finie ou infinie à l’infini
A. Limite infinie en ou en
B. Limite finie en ou en
II. Limite infinie en un point
A. Limite infinie en un nombre réel
B. Interprétation graphique
III. Limites et opérations
A. Somme, produit, quotient de fonctions
B. Composée de deux fonctions
IV. Limites et comparaison
A. Théorème de comparaison : limite infinie
B. Théorème des gendarmes : limite réelle
Limite finie ou infinie d’une fonction à l’infini.
Limite infinie d’une fonction en un point.
Limite d’une somme, d’un produit, d’un quotient ou d’une composée de deux fonctions.
Déterminer la limite d’une somme, d’un produit, d’un quotient ou d’une composée de deux fonctions.
Limites et comparaison.
Déterminer des limites par minoration, majoration et encadrement.
Asymptote parallèle à l’un des axes de coordonnées.
Interpréter graphiquement les limites obtenues
Chapitre 4 : Droites et plans de l’espace (2 semaines)
I. Positions relatives des droites et plans de l’espace
A. Position relative de deux droites de l’espace
B. Position relative de deux plans
C. Position relative d’une droite et d’un plan
II. Parallélisme dans l’espace
A. Droite parallèle à un plan
B. Théorème du toit
C. Plan sécant à deux plans parallèles
III. Orthogonalité dans l’espace
A. Droites orthogonales
B. Droite orthogonale à un plan
C. Plans orthogonaux
D. Parallélisme et orthogonalité
E. Plan médiateur d’un segment
Positions relatives de droites et de plans : intersection et parallélisme.
Étudier les positions relatives de droites et de plans.
Orthogonalité : - de deux droites ; - d’une droite et d’un plan.
Établir l’orthogonalité d’une droite et d’un plan.
Chapitre 5 : Continuité et dérivation (2,5 semaines)
I. Fonction dérivable, fonction continue
A. Fonction dérivable
B. Notion intuitive de continuité
II. Théorème des valeurs intermédiaires
A. Convention dans un tableau de variation
B. Théorème des valeurs intermédiaires : équation sur
C. Résolution d’équations sur un intervalle ouvert
III. Calculs de dérivées
A. Rappels
B. De nouveaux résultats
Continuité sur un intervalle, théorème des valeurs intermédiaires
Exploiter le théorème des valeurs intermédiaires dans le cas où la fonction est strictement monotone, pour résoudre un problème donné.
Calculs de dérivées : compléments
Calculer les dérivées des fonctions : → ; → ; entier relatif non nul ; .
Calculer la dérivée d’une fonction → où est une fonction dérivable, et deux nombres réels.
Chapitre 6 : Fonction exponentielle (2,5 semaines)
I. La fonction exponentielle
A. Etude de l’équation
B. Relation fonctionnelle
II. Propriétés de la fonction exponentielle
A. Signe de la fonction exponentielle
B. Propriétés algébriques de la fonction exponentielle
C. Vers une nouvelle notation
III. Etude de la fonction exponentielle
A. Sens de variation de la fonction exponentielle
B. Limites de la fonction exponentielle
a)Limites en l’infini
b) Etude locale au voisinage de 0
c)Croissance comparée de et de
C. Fonction
IV. Equations et inéquations avec exponentielle
Fonction → .
Démontrer l’unicité d’une fonction dérivable sur R, égale à sa dérivée et qui vaut 1 en 0.
Relation fonctionnelle, notation .
Démontrer que et
Utiliser la relation fonctionnelle pour transformer une écriture.
Connaître le sens de variation et la représentation graphique de la fonction exponentielle.
Connaître et exploiter et
Chapitre 7 : Nombres complexes (3 semaines)
I. Forme algébrique d’un nombre complexe
A. Définition des nombres complexes
B. Représentation dans le plan complexe
C. Inverse et quotient
D. Conjugué d’un nombre complexe
II. Module et argument. Forme trigonométrique
III. Propriétés de calcul et forme exponentielle
IV. Equation du second degré à coefficients réels
V. Calculs de longueurs et d’angles
Forme algébrique, conjugué.
Somme, produit, quotient.
Effectuer des calculs algébriques avec des nombres complexes.
Équation du second degré à coefficients réels.
Résoudre dans C une équation du second degré à coefficients réels.
Représentation géométrique.
Représenter un nombre complexe par un point ou un vecteur.
Affixe d’un point, d’un vecteur.
Déterminer l’affixe d’un point ou d’un vecteur.
Forme trigonométrique : - module et argument, interprétation géométrique dans un repère orthonormé direct;
- notation exponentielle.
Passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique et inversement.
Connaître et utiliser la relation .
Effectuer des opérations sur les nombres complexes écrits sous différentes formes.
Chapitre 8 : Fonction logarithme (2,5 semaines)
Fonction → .
Connaître le sens de variation, les limites et la représentation graphique de la fonction logarithme népérien.
Relation fonctionnelle, dérivée.
Utiliser, pour réel strictement positif et réel, l’équivalence ⇔ .
Utiliser la relation fonctionnelle pour transformer une écriture.
Connaître et exploiter .
Chapitre 9 : Géométrie vectorielle / produit scalaire (2,5 semaines)
Caractérisation d’un plan par un point et deux vecteurs non colinéaires.
Vecteurs coplanaires.
Décomposition d’un vecteur en fonction de trois vecteurs non coplanaires.
Choisir une décomposition pertinente dans le cadre de la résolution de problèmes d’alignement ou de coplanarité.
Repérage.
Utiliser les coordonnées pour : - traduire la colinéarité ; - caractériser l’alignement ; - déterminer une décomposition de vecteurs.
Représentation paramétrique d’une droite.
Produit scalaire de deux vecteurs dans l’espace : définition, propriétés.
Vecteur normal à un plan. Équation cartésienne d’un plan.
Déterminer si un vecteur est normal à un plan.
Caractériser les points d’un plan de l’espace par une relation avec trois nombres réels non tous nuls.
Déterminer une équation cartésienne d’un plan connaissant un point et un vecteur normal.
Déterminer un vecteur normal à un plan défini par une équation cartésienne.
Démontrer qu’une droite est orthogonale à toute droite d’un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.
Choisir la forme la plus adaptée entre équation cartésienne et représentation paramétrique pour : - déterminer l’intersection d’une droite et d’un plan ; - étudier la position relative de deux plans.
Chapitre 10 : Intégration et primitives (2 semaines)
Définition de l’intégrale d’une fonction continue et positive sur , comme aire sous la courbe.
Notation
Théorème : si est une fonction continue et positive sur , la fonction définie sur par est dérivable sur et a pour dérivée .
Il est intéressant de présenter le principe de la démonstration du théorème dans le cas où f est positive et croissante.
Primitive d’une fonction continue sur un intervalle.
Déterminer des primitives des fonctions usuelles par lecture inverse du tableau des dérivées.
Connaître et utiliser les primitives de , ( entier relatif, différent de −1) et, pour strictement
positive, , .
Théorème : toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives.
Il est intéressant de démontrer ce théorème dans le cas d’un intervalle fermé borné, en admettant que la fonction a un minimum. On admet le cas général.
Intégrale d’une fonction continue de signe quelconque.
Calculer une intégrale.
Utiliser le calcul intégral pour déterminer une aire.
Linéarité, positivité, relation de Chasles.
Encadrer une intégrale. (Pour une fonction monotone positive, mettre en œuvre un algorithme pour déterminer un encadrement d’une intégrale.)
Valeur moyenne.
Chapitre 11 : Lois à densité (2 semaines)
Notion de loi à densité à partir d’exemples
Loi à densité sur un intervalle.
Loi uniforme sur .
Connaître la fonction de densité de la loi uniforme sur .
Espérance d’une variable aléatoire suivant une loi uniforme.
Lois exponentielles.
Calculer une probabilité dans le cadre d’une loi exponentielle.
Espérance d’une variable aléatoire suivant une loi exponentielle.
Démontrer que l’espérance d’une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre l est .
Chapitre 12 : Fonctions circulaires (1 semaine)
Fonctions sinus et cosinus
Connaître la dérivée des fonctions sinus et cosinus.
Connaître quelques propriétés de ces fonctions, notamment parité et périodicité.
Connaître les représentations graphiques de ces fonctions.
Chapitre 13 : Loi normale (1 semaine)
Loi normale centrée réduite N .
Connaître la fonction de densité de la loi normale N et sa représentation graphique.
Théorème de Moivre Laplace (admis).
Démontrer que pour , il existe un unique réel positif tel que lorsque suit la loi normale N .
Connaître les valeurs approchées et .
Loi normale N d’espérance et d’écart-type .
Utiliser une calculatrice ou un tableur pour calculer une probabilité dans le cadre d’une loi normale
N
Connaître une valeur approchée de la probabilité des événements suivants : { }, { } et { }, lorsque suit la loi normale N .
Chapitre 14 : Intervalle de fluctuation et estimation (1 semaine)
Intervalle de fluctuation
Démontrer que si la variable aléatoire suit la loi B , alors, pour tout dans on a , où désigne l’intervalle .
Connaître l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % : où p désigne la proportion dans la population.
Intervalle de confiance.
Estimer par intervalle une proportion inconnue à partir d’un échantillon.
Niveau de confiance.
Déterminer une taille d’échantillon suffisante pour obtenir, avec une précision donnée, une estimation d’une proportion au niveau de confiance 0,95.
